المساحة والحجم ...

تمهيد : يستعمل الكثيرون منا في منازلهم خزانات للماء ، وهذه الخزانات مصنوعة من الحديد المطلي ( لتأخير الصدأ قدر الإمكان ) ، أو من مواد بلاستيكية ، أما أشكالها فمختلفة بعضها منتظم وبعضها غير منتظم . يصنع الحدادون خزانات حديدية مختلفة الأبعاد ، بعضها صغير وبعضها كبير حسب حاجة الزبون ، ومن الأشكال الشائعة في منازلنا الخزان الذي طوله = عرضه = ارتفاعه = 1 م ونحن نقول أن هذا الخزان حجمه ( أو سعته ) 1 م والصواب هو 1م3 . وهنالك خزان آخر شائع طوله = عرضه = 1 م ، أما ارتفاعه فهو 2 م وأما حجمه ( سعته ) فهو مثلي حجم الأول أي 2م3 .



المفهوم : لقد سبق لك أن تعرفت على شكل المنشور القائم ، حيث المنشور القائم هو مجسم له قاعدتان مستويتان ومتطابقتان ، وأسطحه الجانبية مستطيلات .

الأشكال الثلاثة أمامك يسمى كل واحد منها منشوراً قائماً ، والعلماء يميزون بين منشواً وآخر باعتماد شكل القاعدة ، فالمنشور رقم (1) هو منشور ثلاثي لأن قاعدته مثلث ، والمنشور رقم (2) يسمى منشوراً رباعياً ، والمنشور رقم (3) يسمى منشوراً خماسياً، وهكذا.



أرجو أن تكون قد شاهدت المنشور الزجاجي الثلاثي القائم الذي يستخدم في تجارب تحليل الضوء . إن له قاعدتين مثلثتين متطابقتين وثلاثة أوجه كل واحد منها مستطيل . وتشاهد أحياناً أعمدة حجرية قائمة ولكن قواعدها خماسية أو سداسية أو غير ذلك . نسمي أي شكل من هذا النوع عموماً باسم المنشور ( أو الموشور ) . إذن المنشور القائم هو شكل منتظم يتكون من قاعدتين متطابقتين يصل بين حوافهما خطوطاً عمودية ( شاقولية ) .

حالات خاصة : المكعب : هو منشور قائم أبعاده الثلاثة متساوية .

مثال : خزان ماء طوله وعرضه وارتفاعه = 1 م .

سؤال : هل متوازي المستطيلات ( والمكعب ) يمثل منشوراً ، فسر جوابك .

ثانيا : متوازي المستطيلات Rectangular Prism

هو موشور قائم قاعدته مستطيل وكل أوجهه الآخرى مستطيلات . وقد تكون قاعدته مربعة ( أي طوله = عرضه ) وارتفاعه له قياس مختلف عن طول قاعدته المربعة .

أمثلة : علبة محارم ورقية ، بعض أنواع علب العصير ، غرفة قاعدتها مستطيل .



نشاط : خذ علبة عصير صغيرة لها نفس شكل الخزّان ( أوجهها الستة كل واحد منها مستطيل ) . قس أبعادها الثلاثة ( طولها وعرضها وارتفاعها ) . بمسطرتك مقرباً لأقرب منزلة عشرية واحدة . استخدم آلتك الحاسبة ( حين اللزوم ) لحساب حجمها ( سعتها من العصير ) . اقرأ كمية العصير على العلبة ( إن وجدت) قارن بين الحجم الذي وجدته والحجم الذي وضعه المصنع على العلبة ، هل كان الاختلاف بينهما كبيراً ؟ ما سبب ( أو أسباب ) الاختلاف في رأيك .

تدريب : ـ اضرب ثلاثة أمثلة لمتوازيات مستطيلات مألوفة لديك .

ـ اكتب بلغتك الخاصة تعريفاً لمتوازي المستطيلات .


مثال محلول :

صندوق من الخشب على شكل متوازي مستطيلات أبعاده 2 ، 3 ، 5 م . احسب حجمه .
الحل : حجم الصندوق = حاصل ضرب أبعاده الثلاثة .

حجم الصندوق = 2م × 3م × 5م

= 30 م3 .



2. مثال آخر :

باب من الخشب ارتفاعه 2 م ، وعرضه 1 م ، وسماكة الخشب المصنوع منه = 5 سم . بفرض أن الباب منتظم وعلى شكل متوازي مستطيلات ، فالمطلوب حساب حجم مادة الخشب التي صنع منها الباب .

الحل : حجم الباب = ارتفاعه × عرضه × سماكته = حجم الخشب المصنوع منه .

لاحظ هنا أن الأبعاد مختلفة في وحداتها فاثنان منها مقاسان بالمتر والثالث بالسم ، إذن عند حساب الحجم يجب جعل الوحدات كلها متشابهة .


إذن حجم الباب = حجم الخشب = 2 م × 1 م ×

لاحظ أننا ضربنا 5 سم × 1 ( حتى لا نغير قيمتها وذلك على شكل


إذن حجم الخشب = 2م × 1 م ×


= 0.1 م3






للتفكير : لو كان لدينا قطعة خشب على شكل متوازي مستطيلات أبعادها 2م × 1م × 1م ، فكم باباً من النوع المذكور في السؤال نستطيع أن نعمل منها بفرض أنه لن يضيع منها أي شيء أثناء عمليات القص والتشكيل .



ثالثا: المنشور الثلاثي Triangular Prism



وهو منشور قائم قاعدته مثلث وله ثلاث أوجه جانبية كل منها مستطيل .

أمثلة : أوضح الأمثلة على هذا النوع موشورات تحليل الضوء وعادة ما تكون قاعدتها مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين ، أو مثلت متساوي الأضلاع

أمثلة أخرى : بعض أنواع علب العصير قد تكون على شكل المنشورات الثلاثية .




رابعا: الموشور الخماسي



وهو موشوور قائم قاعدته خماسي منتظم أو غير منتظم Pentagonal Prism .

وأشهر مثال لهذا النوع : هو وزارة الدفاع الأمريكية المعروفة باسم Pentagon نسبة لشكل بنائها.

خامسا:الموشور السداسي


وهو موشور قاعدته سداسي منتظم أو غير منتظم Hexagonal Prism.

مثال : أوضح مثالي طبيعي عليه هو بلورات المرو ( Quartz ) السداسية .


سادسا: حساب حجم الموشور عموماً مهما كان شكل قاعدته :
لحساب حجم أي منشور نضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه ، حيث مساحة القاعدة تمثل حاصل ضرب بعدين من أبعاده ، ويكون الارتفاع هو البعد الثالث .


مثال : منشور سداسي قائم مساحة قاعدته 60 سم2 وارتفاعه 12 سم . جد حجمه .

الحل : حجم المنشور = مساحة قاعدته × ارتفاعه

= 60 سم2 × 12 سم = 720 سم3 .


أمثلة : جد حجم كل من المنشورات التالية :

أبعاد كل منشور موجودة على الشكل.



قاعدة المنشور الاول مثلث قائم الزاوية طول ضلعية القائمة فيه 2 و 5 سم.

1. حجم المنشور (أ) = مساحة القاعدة × الارتفاع = ( مساحة المثلث ) × 8 سم

× 5 × 2 ) × 8 = 40 سم3 .
= ( × 5 × 2 ) × 8 = 40 سم3 .



2. حجم المنشور ( المكعب ) ب = مساحة القاعدةة × الارتفاع

= مساحة المربع × 12

= ( 12 × 12 ) × 12 = 144 × 12 = 1728 سم3 .



3. حجم المنشور (ج) = مساحة القاعدة × الارتفاع

= مساحة المثلث ( قاعدة المنشور ) × الارتفاع

× القاعدة × ارتفاع المثلث ) × 3
= ( × القاعدة × ارتفاع المثلث ) × 3


× 2 × 1 ) ×3= م3 .
= ( × 2 × 1 ) ×3= م3 .


4. منشور خماسي مساحة قاعدته 12 سم2 وارتفاع 3 سم أوجد حجمه .

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع

= 12 × 3 = 36 سم3 .



5. إذا كان حجم متوازي مستطيلات 90 سم3 مساحة قاعدته 30 سم2 ، احسب ارتفاعه .

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع

90 = 30 × ع

= 3 سم .

الارتفاع= = 3 سم .